現役理系大学生と勉強するブログ

現役東工大生が中高生の学習をサポートします。

三角比について解説！【数学】

皆さんこんにちは！

本日は高校一年生で習う三角比について解説していこうと思います。

この分野は高校二年生で習う三角関数の基本となりますのでしっかり理解していきましょう。

 

f:id:study_k:20200615085843j:plain

 

三角比の定義

定義

早速定義から確認していきます。

図のような三角形に対して次のような式が成り立ちます。

f:id:study_k:20200615091503j:plain

\sin{\theta} = \dfrac{PQ}{OP} \cos{\theta} = \dfrac{OQ}{OP} \tan{\theta} = \dfrac{PQ}{OQ}

 

\sinはサイン、\cosはコサイン、\tanはタンジェントと読みます。なんかかっこいいですよね。

日本語ではそれぞれ正弦、余弦、正接と呼ばれます。合わせて覚えておきましょう。

また、よく角度で用いられる\thetaはギリシャ文字でシータと読みます。

 

これは定義なのでしっかり覚えてほしいのですが覚えづらいと思うので有名な覚え方についても書いておこうと思います。

 

定義の覚え方

f:id:study_k:20200615094514j:plain

先ほどの図に\sin , \cos , tanのそれぞれの頭文字であるs,c,tの筆記体を書き込みました。

f:id:study_k:20200615095306j:plain

筆記体の描き順に合わせて通った辺を分母→分子とすると、定義と一緒になりますね。ぜひこれを使って覚えてみてください。

 

有名角の三角比

有名角(30°、45°、60°)の三角比を見ていこうと思います。

 

①30°

まずは30°からです。

中学校で習った辺の比を思い出してみましょう。1:2:\sqrt{3}でしたね。

これをもとに定義から三角比は次のようになります。

f:id:study_k:20200615105024j:plain

\sin{30°} = \dfrac{1}{2}

\cos{30°} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}

\tan{30°} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}

 

 

②45°

次は45°についてです。3つの辺の比は1:1:\sqrt{2}でしたね。

よって三角比は次のようになります。

f:id:study_k:20200615104954j:plain

\sin{45°} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}

\cos{45°} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}

\tan{45°} = 1

 

③60°

 最後に60°です。①の三角形を回転させればよいですね。なので辺の比自体は変わりません。

三角比は次のようになります。

f:id:study_k:20200615105008j:plain

\sin{60°} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}

\cos{60°} = \dfrac{1}{2}

\tan{60°} = \sqrt{3}

 

 

これらは有名でよく出題され、物理等でも使うのでしっかり暗記しましょう！

 

では少し問題を解いてみましょう。

 

例題

f:id:study_k:20200615113710j:plain

上の三角形ABCの\thetaに対して\sin{\theta}\cos{\theta}\tan{\theta}を求めよ。

 

三角関数を定義に則って求めて生きたいのですが、今回直線ACの長さが与えられていません。

まずはACの長さを求めていきましょう。

三角形ABCは直角三角形なので中三で習う三平方の定理を用いて求めましょう。

AC = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{9} =3

と求めることができますね！

 

そしたら、定義より三角比を求めて終了です！

\sin{\theta} = \dfrac{BC}{AC} = \dfrac{4}{5}

\cos{\theta} = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{3}{5}

\tan{\theta} = \dfrac{BC}{AC} = \dfrac{4}{3}

 

まとめ

本日は三角関数の定義から簡単な例題までを扱いました。

有名角の三角比に関してはもう一度記載しておくのでぜひ覚えて帰ってください！

 

\sin{30°} = \dfrac{1}{2} , \sin{45°} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} , \sin{60°} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}

\cos{30°} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} , \cos{45°} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} , \cos{60°} = \dfrac{1}{2}

\tan{30°} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} , \tan{45°} = 1 , \tan{60°} = \sqrt{3}

  

 

質問要望等は随時コメントで受け付けております。何かございましたらお気軽にご連絡ください！