現役理系大学生と勉強するブログ

現役東工大生が中高生の学習をサポートします。

絶対値のついた方程式・不等式の解き方【数学】【高校】

数学受験高校

皆さんこんにちは！

今回は高校一年生の数学Iで習う絶対値のついた方程式、不等式の解き方について解説していきます。

ここは理解することが難しい範囲ですが、一緒に頑張っていきましょう！

f:id:study_k:20200616141619j:plain

問題は大きく3種類
①の場合
- 例題①
まとめ

問題は大きく3種類

絶対値付きの方程式・不等式と言われたら大きく3種類に分類することができます。

k > 0としたとき、

①　方程式 $|x| = k$ の解は　 $x = \pm k$

②　不等式 $|x| \lt k$ の解は　 $-k \lt x \lt k$

③　不等式 $|x| \gt k$ の解は　 $x \lt -k , x \gt k$

全ての問題に対して上の三つの公式のようなものを適用させれば答えは出せます。

それぞれについて、なぜそうなるのかという理由と例題を見ていこうかなと思います。

①の場合

方程式 $|x| = k$ の解は　 $x = \pm k$

まず $|x| = k$ の意味から考えていきます。

この式は何を表しているのでしょうか。

日本語にすると次のようになります。

「変数xの絶対値はkです。」

復習になりますが絶対値とは数直線上での原点からの距離でした。

つまり、こう言いかえることもできます。

「変数xの原点からの距離はkです。」

$|x| = k$ を満たすxを求めよ。

という問題は、

原点からの距離がkのなるようなxの値を求めればよいということです。

例題も見ていきます。

例題①

問：方程式 $|x - 1| = 4$ を解け。

この問題を考えていきましょう。

先ほどと同様に日本語に直してみると次のようになります。

「原点との距離が4であるような(x - 1)を求めよ。」

では原点との距離が4なのはどんな数字でしょう。

これは中学校で習ったと思いますが、

原点０から正の方向に4進むと+4

負の方向に4進むとｰ4

よって(x - 1)が $\pm 4$ になればいいということですね。

これを式にしていきます。

$|x-1| = 4$

$x - 1 = \pm 4$

$x = 1 \pm 4$

よって

$x = 5 , -3$

というように答えを出すことができます。

もう1問見ていきます。

問：方程式 $| x - 3 | = 2x$ を解け。

先ほどの問題との違いは、右辺にもxが含まれているというところです。

こういった問題は場合分けを使って解いていきましょう。

$|2| = 2 , |-2| = -2 \times (-1) = 2$ のように、

絶対値の中身が正のときはそのまま、負のときはマイナスをかけて絶対値を外します。

この考えを使います。

つまり絶対値の中身が正か負かで場合分けをします。

それでは解答に移ります。

[1] $x -3 \gt 0$ つまり $x \gt 3$ のとき

この時絶対値はそのまま外れるので、

$x-3 = 2x$

これを解くと、

$x=-3$

よく確認してみると、今回は $x \gt 3$ の時を考えていたので、

$x=-3$ は不適であり、解無しです。

[2] $x-3 \lt 0$ つまり $x \lt 3$ のとき

この時絶対値はマイナスをかけて外さなくてはならないので、

$-x+3 = 2x$

$x = 1$

これは $x \lt 3$ を満たすので、適しています。

[1][2]より

$x = 1$

以上のように答えが求められます。

まとめ

今回はここまでにします！

絶対値を含む方程式の解き方について説明しました。

次回は絶対値を含んだ不等式をメインに扱っていきますのでそちらも併せてご覧ください。

質問要望等は随時コメントで受け付けております。何かございましたらお気軽にご連絡ください！