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三角比の相互関係って？【数学】

数学 高校 受験

皆さんこんにちは！

この記事は前回の続きとなっていますので一度目を通してからご覧ください！

 

study-college-student.hatenablog.com

 

 

前回扱った三角比で出てきた、\sin \cos \tanは独立しているわけではなく、この３つの値の間には３つの関係式が成り立ちます。

 

どんな式が成り立つのか見ていきましょう！

 

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三角比の相互関係

① \tan{\theta} = \dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}

② \sin^{2} {\theta}+\cos^2 {\theta} = 1

③ 1 + \tan^2 {\theta} = \dfrac{1}{\cos^2 {\theta}}

これらが三角比の相互関係を表す式です。教科書にも書いてありますよね！

この式の利点は「三角比\sin , \cos , \tanのうちどれか一つでもわかれば残りの二つが計算により導ける」ということです。

 

これらの式は定期テストを意識するにしても大学入試を意識するにしてもとても重要な式になります。

 

高校三年生で習い、大学入試頻出である微分積分の計算でも頻繁に使うのでしっかり覚えておきましょう。

 

例題を見ていく前にこれらの式が成り立つことの証明をしていこうと思います。

数学が得意な人はしっかり読んで、何も見なくても自分で証明できるようになりましょう。

また、そうでない人も一度は目を通してみてください。

 

証明

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 上図のような直角三角形ABCにおいて、

\sin{\theta} = \dfrac{a}{c},\cos{\theta} = \dfrac{b}{c}

であるから、それぞれ変形して

a = c \sin{\theta}, b = c \cos{\theta}

が成り立つ。

これらを\tan{\theta} = \dfrac{c}{b}に代入して、

\tan{\theta} = \dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}} (①)

 

また、三角形ABCは直角三角形であるから、

三平方の定理より

a^2 + b^2 = c^2

が成り立つ。

これに先ほどの a = c \sin{\theta}, b = c \cos{\theta}を代入すると、

c^2 \sin^2 {\theta} + c^2 \cos^2 {\theta} = c^2

両辺をc^2で割って、

\sin^2 {\theta} + \cos^2 {\theta} = 1 (②)

 

この式の両辺を\cos^２ {\theta}で割ると、

(\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}})^2 + 1 = \dfrac{1}{\cos^2 {\theta}}

\tan^2 {\theta} +1 = \dfrac{1}{\cos^2 {\theta}} (③)

 

以上で３つの等式が成り立つことが示された。

 

それでは例題を見ていきましょう。

 

例題

問：\sin{\theta} = \dfrac{3}{4}のとき、\cos{\theta},\tan{\theta}を求めよ。

 

今回の問題は\sin{\theta}の値がわかっています。

相互関係の②の式を使って\cos{\theta}を求めましょう。

 

\sin^2 {\theta} + \cos^2 {\theta} = 1

(\dfrac{3}{4})^2 + \cos^2 {\theta} = 1

\cos^2 {\theta} = 1 - \dfrac{9}{16}

\cos^2 {\theta} = \dfrac{7}{16}

よって、

\cos{\theta} = \dfrac{\sqrt{7}}{4}

 

続いて\tan{\theta}を求めていきましょう。

①③どちらの式を使っても出せそうなので楽な方を選びましょう！

 

①の方が楽そうですね！2乗の計算が出てこないので！

①に代入していきます。

 

\tan{\theta} = \dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}

\tan{\theta} = \dfrac{3}{4} \div \dfrac{\sqrt{7}}{4}

\tan{\theta} = \dfrac{3}{\sqrt{7}}

 

まとめ

繰り返しになりますがこの式は他分野でも問われることが多いです。

この記事でしっかり覚えてくださいね！

① \tan{\theta} = \dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}

② \sin^{2} {\theta}+\cos^2 {\theta} = 1

③ 1 + \tan^2 {\theta} = \dfrac{1}{\cos^2 {\theta}}

ではまた次回！

 

 

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